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日志

 
 

数学运算中行程问题备考要点  

2010-10-30 16:29:28|  分类: 2012年数量关系复 |  标签: |举报 |字号 订阅

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行程问题的“三要素”:路程、速度、时间。问题千变万化,归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类:一是相遇问题;二是追及问题;三是流水问题;四是平均速度;五是行程问题;六是其他问题。

1、相遇问题

相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量:路程、速度、时间。相遇问题的核心就是速度和。

要点:⑴甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之间的某处相遇。实质上是甲、乙两人一起走了AB这段路程,如果两人同时出发,那么

AB路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=(甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间

⑵相遇问题的核心就是速度和。

例1:2005年浙江

甲、乙两地相距20公里,小孙与小张分别从甲、乙两地同时相向而行,两小时后在途中相遇,然后小孙返回甲地,小张继续前进。当小孙回到甲地时,小张离甲地还有2公里。问小孙的速度是多少?

A.6.5公里/小时     B.6公里/小时   C.5.5公里/小时   D.5公里/小时

答案C;小孙从相遇到甲地,还是两小时,所以在2小时中比小张多走了2公里,所以小孙比小张快1小时/公里,设小孙速度为X,2X+2(x-1)=20得X=5.5。

例2:2007年中央

  A、B 两站之间有一条铁路,甲、乙两列火车分别停在A 站和B 站,甲火车4 分钟走的路程等于乙火车5 分钟走的路程.乙火车上午8 时整从B 站开往A 站,开出一段时问后,甲火车从A 站出发开往B 站,上午9时整两列火车相遇.相遇地点离A、B 两站的距离比是15:16.那么.甲火车在( ) 从A 站出发开往B 站.

  A .8 时12 分    B .8时15 分    C . 8 时24 分    D . 8 时30 分

答案:B,只要求出两车相遇时,甲车行驶了多长时间就可以了,由题意得V甲:V乙=5:4,S甲:S乙=15:16, 所以S甲:S乙=(V甲×T甲):(V乙×T乙)=15:16

   即T甲:T乙=15V乙:16V甲=(15*4):(16*5)=3:4

     T甲=(3/4)T乙=(3/4)(9-8)=3/4小时=45分钟

所以甲的出发时间为9点-45分=8点15分。

2、追及问题

    有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差(追及路程)。如果设甲走得快,乙走得慢,在相同时间(追及时间)内:

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=(甲的速度-乙的速度)×追及时间

=速度差×追及时间

追及问题的核心是速度差。

例1:2008年浙江

    甲、乙两人沿直线从A地步行至B地,丙从B地步行至A地。已知甲乙丙三人同时出发,甲和丙相遇后5分钟,乙和丙相遇。如果甲乙丙三人的速度分别为85米/分钟、75米/分钟、65米/分钟。问AB两地的距离为多少米?

A:8000米   B:8500米    C:10000米   D:10500米

答案:D,根据相遇问题的分析方法,甲和丙相遇时,乙和丙相距(75+65)×5=700米,甲和乙是一个追及过程,所以三人步行时间700÷(85-75)=70分钟,由甲和丙相遇可知AB两地的距离为(85+65) ×70=10500米。

例2:甲、乙两人同时从400米的环形路跑道的一点A背向出发,10分钟后两人第五次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米,两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是(   )。B

A.176米         B.182米         C.218米       D.224米

答案:B  设乙的速度为x米/分钟,则甲速度为x+6米/分钟,两人10分钟相遇5次就是10分钟甲、乙二人共跑了5圈,即(x+x+6)×10=400×5,得x=97。因为两人都是匀速前进,所以每次相遇所用时间相等。两人第三次相遇所用时间应该是3/5×10=6分钟。此时乙行进的路程97×6=582米,582-400=182米,或者另一半为218,求最短应选B。

3、流水问题

   我们知道,船顺水航行时,船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进,同时整个水面又按水的流动速度在前进,因此船顺水航行的实际速度(简称顺水速度)就等于船速与水速的和,即:顺水速度=船速+水速

船逆水行进时,情况恰好相反。这时船向上开,水向下流,因此,船逆水航行的实际速度(逆水速度)等于船速与水速之差,即:逆水速度=船速-水速

这类行程问题叫流水问题。解决流水问题需要灵活运用两个基本关系式:

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

由于顺水速度是船速与水速的和,逆水速度是船速与水速的差,因此流水问题就是和差问题。所以,解答流水问题,有时还需要运用和差的数量关系。

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

因为流水问题也是行程问题,所以在流水问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。

顺水路程=顺水速度×时间

逆水路程=逆水速度×时间

例1:2009浙江

甲乙两港相距720千米,轮船往返需要35个小时,逆流航行比顺流航行多花5小时,帆船在静水中每小时行使24千米,问帆船往返两港要多少小时?

A  58小时     B 60小时     C 64小时     D 66小时

答案:C。轮船往返需要35个小时,逆流航行比顺流航行多花5小时,算出顺流要15小时,逆流要20小时。甲乙两港相距720千米,所以顺流速度720/15=48KM/H,逆流36,这样算出水流速是(48-36)/2=6KM/H。帆船在静水中每小时行使24千米,所以帆船逆流速度为24-6=18,顺流为24+6=30。甲乙两港相距720千米,所以顺流720/30=24小时,逆流720/18=40小时, 所以总共64小时。

例2:2005年浙江

    一艘游轮逆流而行,从A地到B地需6天;顺流而行,从B地到A地需4天。问若不考虑其他因素,一块塑料漂浮物从B地漂流到A地需要多少天?

  A.12天    B.16天    C.18天    D.24天

答案:D,设水流速度为x,两地距离为S,则x=1/2(s/4-s/6)=s/24,漂浮就是以流水速度前进,则需要s÷s/24=24天。

4、平均速度

平均速度不是简单的求速度的平均值。平均速度=总路程/总时间。

若一段路程往返的速度分别为V1,V2,则往返的平均速度=2 V1V2/ V1+V2。

例1:汽车往返甲、乙两地之间,上行速度为30公里/时,下行速度为60公里/时,汽车往返的平均速度为(    )公里/时。

A.40        B.45        C.50        D.55

答案:A,直接利用平均速度公式=2×30×60/(30+60)=40

5、行程问题

例1:2007年浙江

A、B两地相距100公里,甲以10千米/小时的速度从A地出发骑自行车前往B地。6小时后,乙开摩托车从A地出发驶向B地。问为了使乙不比甲晚到B地,摩托车每小时至少要行驶多少千米?(    )

A. 24千米      B. 25千米    C. 28千米    D. 30千米

答案:B

解析:乙出发时,甲已出发6小时,此时,甲行走6小时×10千米/小时=60千米,距离B地尚有100-60=40千米,到达B地需要4个小时,乙需要在4小时内到达B地,两地相距100千米,要4小时内到达,每小时至少需要走100/4=25千米。

例2:2006浙江

某团体从甲地到乙地,甲、乙两地相距100千米,团体中一部人乘车先行,余下的人步行, 先坐车的到途中某处下车步行,汽车返回接先步行的那部分人,已知步行速度为 8千米/小时,汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间。

A、5.5小时     B、5小时     C、4.5小时     D、4小时

答案:B 设行使T时间后,车子回来接人,那么这时步行者走了8T,车子走了40T,两者相距32T,坐车先走者距离终点100-40T

车子与人相遇时:后人又走了:(32T/48T)8T=32T/6

而两组人既然同时到达,可知两组人的步行路程是相等的,得

8T+32T/6=100-40T  T=15/8,再有(100-40T)/8=25/8,所以共行使了5小时。

例3:2006年浙江

    从甲,乙两车站同时相对开出第一辆公共汽车,此后两站每隔8分钟再开出一辆,依次类推。已知每辆汽车的车速是均匀的,每辆车到达对方都需45分种。现一乘客从甲站开出的第一量辆车去乙站,问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车

 A 4     B5     C6     D7

答案:C, 当甲乙同时开出时,在45/2时遇到第一辆,由于相向运动,所以每隔8/2分钟会遇到一辆,在剩余的22.5分钟内,会遇到22.5/4(取整数)辆,即5辆,先前在第22.5分时已遇到一辆,所以是5+1=6辆

6、其他问题

⑴“火车过桥”问题:过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长,这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系:

    过桥的路程 = 桥长 + 车长

    车速 = (桥长 + 车长)÷过桥时间

    通过桥的时间 =(桥长 + 车长)÷车速

    桥长 = 车速×过桥时间 — 车长

    车长 = 车速×过桥时间 — 桥长

    后三个都是根据第二个关系式逆推出的。

    火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的,也要通过上面的数量关系来解决。

⑵“快慢两车交会时间”问题:因为两车是相对运动的,相对速度是一样的,所以快车上的人和慢车上的人看见对方通过的时间与对方车长成正比,根据两车车身的长度,列出比利式可以求得人从窗口看到车驶过的时间。

   ⑶跑圈问题:几匹不同速度的马在跑圈,从同一起跑线出发,求经过多少分钟后这些马又同时并排在起跑线上。可以先求这些马跑一圈需要的时间,然后求他们的“最小公倍数”。

例1:2006年浙江

    跑马场上有三匹马,其中上等马一分钟能绕场跑4圈,中等马一分钟能绕场跑3圈,下等马一分钟能绕场跑2圈。现在三匹马从同一起跑线上出发,同向绕场而跑。问经过(  )分钟后,这三匹马又并排在起跑线上。

A、1分钟    B、4分钟    C、12分钟    D、24分钟

答案:A. 最小公倍数法,每匹马跑一圈所用时间分别是1/4,1/3,1/2, 最小公倍数为1,1分钟内ABC均跑了整数圈,则1分钟后,三马又能并列地跑起跑线上

   ⑷自动扶梯问题:类似于流水问题。自动扶梯静止时显示的阶数S等价于扶梯间的距离,是固定的。人的速度为V人,扶梯的速度V梯,那么人梯同方向运动,过完扶梯时间T=S/(V人+V梯); 人梯逆方向运动,过完扶梯时间T=S/(V人-V梯)。

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